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函数的定义域为{x|x≠1},图象过原点,且. (1)试求函数f(x)的单调减区...

函数manfen5.com 满分网的定义域为{x|x≠1},图象过原点,且manfen5.com 满分网
(1)试求函数f(x)的单调减区间;
(2)已知各项均为负数的数列{an}前n项和为Sn,满足manfen5.com 满分网,求证:manfen5.com 满分网
(3)设manfen5.com 满分网,是否存在m1,,n1,m2,n2∈N*,使得ln2011∈(g(m1,n1),g(m2,n2))?若存在,求出m1,,n1,m2,n2,证明结论;若不存在,说明理由.
(1)先由己知得出a=0,b=c求得f(x)的解析式,再利用导数工具即可求出函数f(x)的单调减区间; (2)由已知可得2Sn=an-an2,利用数列的通项与前n项和的关系式求得当数列的通项公式:an=-n,于是,待证不等式即为.为此,我们考虑证明不等式,下面利用导数研究函数,的单调性,即可证明得到,即; (3)对于存在性问题,可先假设存在,只须在中令n=1,2,3,…,20072010,并将各式相加即可得到证明. 【解析】 (1)由己知a=0,b=c.∵且b=2n,n∈N*∴b=2 ∴ 于是 由f'(x)<0得0<x<1或1<x<2 故函数f(x)的单调减区间为(0,1)和(1,2) (2)由已知可得2Sn=an-an2, 当n≥2时,2Sn-1=an-1-an-12 两式相减得(an+an-1)(an-an-1+1)=0 ∴an-an-1=-1(各项均为负数) 当n=1时,2a1=a1-a12⇒a1=-1,∴an=-n 于是,待证不等式即为. 为此,我们考虑证明不等式 令,则t>1, 再令g(t)=t-1-lnt,由t∈(1,+∞)知g'(t)>0 ∴当t∈(1,+∞)时,g(t)单调递增∴g(t)>g(1)=0于是t-1>lnt 即① 令,由t∈(1,+∞)知h'(t)>0 ∴当t∈(1,+∞)时,h(t)单调递增∴h(t)>h(1)=0于是 即② 由①、②可知 所以,,即 (3)m1=2,n1=2011,m2=1,n2=2010. 在中令n=1,2,3,…,20072010,并将各式相加得 即ln2011∈(g(2,2011),g(1,2010)).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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