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已知f(x)=在区间[-1,1]上是增函数. (1)求实数a的值所组成的集合A;...

已知f(x)=manfen5.com 满分网在区间[-1,1]上是增函数.
(1)求实数a的值所组成的集合A;
(2)设关于x的方程f(x)=manfen5.com 满分网的两个根为x1、x2,若对任意x∈A及t∈[-1,1],不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求m的取值范围.
(1)f(x)在区间[-1,1]上是增函数⇔f′(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立⇔x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立,设φ(x)=x2-ax-2,由即可求得答案; (2)由(1)求得-1≤a≤1,于是可求得|x1-x2|=≤3,不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意x∈A及t∈[-1,1]恒成立⇔m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,从而可求得m的取值范围. 【解析】 (1)∵f′(x)==, ∵f(x)在区间[-1,1]上是增函数, ∴f′(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立, 即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. 设φ(x)=x2-ax-2,则问题等价于⇔-1≤a≤1, ∴A=[-1,1]. (2)由=,得x2-ax-2=0,△=a2+8>0, ∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根, ∴x1+x2=a,x1x2=-2,从而|x1-x2|==, ∵-1≤a≤1, ∴|x1-x2|=≤3. ∴不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意x∈A及t∈[-1,1]恒成立 ⇔m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立 ⇔m2+tm-2≥0≥0对任意t∈[-1,1]恒成立. 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),则问题又等价于⇔m≤-2, ∴m≥2,即m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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