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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AC=AA1=2,∠ABC=....

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AC=AA1=2manfen5.com 满分网,∠ABC=manfen5.com 满分网
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)求二面角A-A1C-B的正弦值.

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(1)由已知中AB=2,AC=AA1=2,∠ABC=,解三角形可得AB⊥AC,故可以以A为原点,分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,分别求出AB与A1C的方向向量,根据两个向量的数量积为0,即可得到AB⊥A1C; (2)结合(1)的结论,分别求出平面AA1C与平面A1CB的法向量,代入向量夹角公式,即可出二面角A-A1C-B的正弦值. 【解析】 (1)证明:在△ABC中,由正弦定理可求得 ∴AB⊥AC 以A为原点,分别以AB、AC、AA1为 x、y、z轴,建立空间直角坐标系,如图 则A(0,0,0)B(2,0,0) 即AB⊥A1C. (2)由(1)知 设二面角A-A1C-B的平面角为α,= ∴
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考点分析:
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