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已知g(x)=ln(ex+b)(b为常数)是实数集R上的奇函数,当g(x)>0时...

已知g(x)=ln(ex+b)(b为常数)是实数集R上的奇函数,当g(x)>0时,有manfen5.com 满分网
(1)求b的值;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是manfen5.com 满分网,求a的值.
(1)利用奇函数的定义进行整理化简是解决本体的关键,注意对数运算性质的灵活运用,指数运算性质的运用和变形,以及恒成立问题的处理方法; (2)利用导数作为工具求解该函数在闭区间上的最值是解决本题的关键,根据该函数在何处取到最值列出关于a的方程达到求解a的目的. 【解析】 (1)∵g(-x)=-g(x)∴ln(e-x+b)+ln(ex+b)=0⇒(e-x+b)(ex+b)=1 ⇒(e-x+ex)b+b2=0⇒(e-x+ex+b)b=0⇒b=0. (2)由(1)知(x>0),则 在[1,e]上,讨论如下: ①当a<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a<1, 这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾; ②当a=1时,函数f(x)在(1,e]单调递增,其最小值为f(1)=1,同样与最小值是相矛盾; ③当1<a<e时,函数f(x)在[1,a)上有f'(x)<0,单调递减, 在(a,e]上有f''(x)>0,单调递增,所以函数f(x)满足最小值为f(a)=lna+1 由,得. ④当a=e时,函数f(x)在[1,e)上有f'(x)<0,单调递减,其最小值为f(e)=2,还与最小值是相矛盾; ⑤当a>e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为, 仍与最小值是相矛盾;综上所述,a的值为.
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考点分析:
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其中真命题的序号是    (写出所有正确命题的编号). 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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