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[文]已知不等式x2+px+1>2x+p. (1)如果不等式当|p|≤2时恒成立...

[文]已知不等式x2+px+1>2x+p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立,求x的范围;
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的范围.
(1)是对|p|≤2时恒成立,可看作关于p的一次不等式恒成立,只要两端点满足要求即可; (2)是对2≤x≤4时恒成立,可用分离参数求最值,或者转化为二次函数求最值,结合二次函数图象解决即可. 【解析】 (1)原不等式为(x-1)p+(x-1)2>0, x=1时,有(x-1)p+(x-1)2=0,不等式不成立, 则必有x≠1, x≠1时,令f(p)=(x-1)p+(x-1)2,f(p)是关于p的一次函数, 此时其定义域为[-2,2],由一次函数的单调性知, 解得x<-1或x>3. 即x的取值范围是{x|x<-1或x>3}. (2)不等式可化为(x-1)p>-x2+2x-1, ∵2≤x≤4,∴x-1>0. ∴p>=1-x. 对x∈[2,4]恒成立, 所以p>(1-x)max. 当2≤x≤4时,(1-x)max=-1, 于是p>-1.故p的范围是{p|p>-1}.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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