Question

如图，已知边长为2的正三角形ABC中线AF与中位线DE相交于点G，将此三角形沿DE折成二面角A₁-DE-B，设二面角A₁-DE-B的大小为θ，则当异面直线A₁E与BD的夹角为60°时，cosθ的值为（ ）

A．-
B．
C．-
D．

Answer

由△ABC为等边三角形，AF为中线，知AF⊥BC．由DE为中位线，知BC∥DE，DE⊥AG，且DE⊥GF，故∠A1GF是二面角A1-DE-B的平面角，即∠A1GF=θ．由正△ABC的边长为2，知AE=BD=1，，由异面直线A1E与BD的夹角为60°，知∠A1EF=60°，A1F=1，由能求出cosθ的值．
【解析】
∵△ABC为等边三角形，AF为中线
∴AF⊥BC
又∵DE为中位线，∴BC∥DE
∴AF⊥DE
即DE⊥AG，且DE⊥GF
∵沿着DE翻折
∴DE⊥A1G
∵DE⊥AG，DE⊥GF，A1G∩AG=G
∴DE⊥平面A1GF
∴A1G⊥DE，FG⊥DE，
∴∠A1GF是二面角A1-DE-B的平面角，
即∠A1GF=θ．
∵正△ABC的边长为2，
∴AE=BD=1，，
连接EF，∵AE=EC=1，BF=FC=1，
∴EFBD，
∵异面直线A1E与BD的夹角为60°，
∴∠A1EF=60°，
∴△A1EF是边长为1的等边三角形，
∴A1F=1，
∴
=
=．
故选D．