Question

已知函数f（x）=mx³+（ax-1）（x-2）（x∈R）的图象在x=1处的切线与直线x+y=0平行．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）当a≥0时，解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer

（I）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（1）=3m-1，可得到关于m的值；
（II）由（I）知f （x）=（ax-1）（x-2）．下面对字母a的取值情况进行分类讨论：当a=0时，f （x）=-（x-2）＞0，当a＞0时，再分：若＜2；若=2；若＞2，分别求出原不等式的解集即可．
【解析】
（I）∵f （x）=mx3+ax2-（2a+1）x+2，∴f′（x）=3mx2+2ax-（2a+1）．
∴f'（1）=3m-1，
即函数f （x）的图象在x=1处的切线斜率为3m-1．
∴由题知3m-1=-1，解得m=0．…（5分）
（II）由（I）知f （x）=（ax-1）（x-2）．
当a=0时，f （x）=-（x-2）＞0，解得x＜2．…（7分）
当a＞0时，方程f （x）=0的两根为x2=，x2=2．
若＜2即a＞时，原不等式的解为＜x＜2；…（9分）
若=2即a=时，原不等式的解为∅；…（10分）
若＞2即a＜时，原不等式的解为2＜x＜．…（11分）
∴综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；
当0＜a＜时，原不等式的解集为{x|＜x＜2}；当a=时，原不等式的解集为∅；
当a＞时，原不等式的解集为{x|2＜x＜}．…（12分）