Question

函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求此平行线的距离；
（Ⅱ）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x，我们把|f（x）-g（x）|的值称为两函数在x处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，确定a的值，从而可得切线方程，即可求得两平行切线间的距离；
（Ⅱ）问题等价于在x∈[0，+∞）有解，令，则m＜hmax（x），由此即可求得实数m的取值范围；
（Ⅲ）证法一：函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），求出其最小值，即可得到结论；
证法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），构造函数，x∈（0，+∞），F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞），确定其单调性，确定其范围，即可求得结论．
（Ⅰ）【解析】
f'（x）=aex，，
y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
∴f'（0）=g'（a），即
又∵a＞0，∴a=1．
∴f（x）=ex，g（x）=lnx，
∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0
∴两平行切线间的距离为．
（Ⅱ）【解析】
由得，故在x∈[0，+∞）有解，
令，则m＜hmax（x）．
当x=0时，m＜0；
当x＞0时，∵，
∵x＞0，∴，∴
故
即在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）max=h（0）=0，∴m＜0
即实数m的取值范围为（-∞，0）．
（Ⅲ）证法一：∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞）
∴，
设x=t为的解，则当x∈（0，t），F'（x）＜0；
当x∈（t，+∞），F'（x）＞0，∴F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增
∴
∵f'（1）=e-1＞0，，∴
故
即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
证法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞）
令，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）
∵，，
∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增
∴F1（x）＞F1（0）=1，F2（x）≥F2（1）=1，
∴F（x）=ex-lnx=F1（x）+F2（x）＞2
即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．