Question

选修4-2：矩阵与交换
已知二阶矩阵M=，矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）．求矩阵M将圆x²+y²=1变换后的曲线方程．

Answer

根据矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1），可求得M=．在单位圆上设点P（x，y），P被M变换后变成曲线C上的点Q（x'，y'），利用矩阵变换的公式列方程组，并将x、y表示成x'、y'的式子，将此关系式作为点P坐标，代入单位圆方程，化简整理即得变换后的曲线C方程．
【解析】
∵二阶矩阵M=，矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）．
∴M=，即•=
可得，解之得，所以M=
设点P（x，y）是圆x2+y2=1上的任意一点，变换后的点为Q（x'，y'），则
M=，可得，从而
将点P（（x'-2y'），（x'+y'））代入单位圆方程，得
（x'-2y'）2+（x'+y'）2=1，化简整理得：2（x'）2+5（y'）2-2x'y'-9=0
∴M将圆x2+y2=1变换后的曲线C方程为：2x2+5y2-2xy-9=0．