Question

设函数f（x）=sin（x+）-2sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于原点对称，求S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．

Answer

（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（x+）-1，由此求得f（x）的最小正周期．
（2）在函数y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），则它关于原点的对称点（-x，-g（x））在函数y=f（x）的图象上，由此求得 g（x）=sin（x-）+1，由此求得
函数g（x）的周期为4，求出g（1）+g（2）+g（3）+g（4）的值，即可求得S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．
【解析】
（1）∵函数f（x）=sin（x+）-2sin2x=sinx+cosx-2•
=（sinx+cosx）-1=sin（x+）-1，
故函数f（x）的最小正周期T==4．
（2）∵函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于原点对称，在函数y=g（x）的图象上任取一点
（x，g（x）），则它关于原点的对称点（-x，-g（x））在函数y=f（x）的图象上，
即点（-x，-g（x））的坐标满足函数y=f（x）的解析式，故有-g（x）=sin（-x+）-1=-sin（x-）-1，
∴g（x）=sin（x-）+1，故函数g（x）的周期为4．
∵g（1）=sin（-）+1=+1，g（2）=sin（×2-）+1=+1，g（3）=sin（×3-）+1=1-，
g（4）=sin（×4-）+1=1-，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=4．
S=g（1）+g（2）+…+g（2012）=503（g（1）+g（2）+g（3）+g（4））=503×4=2012．