Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；
（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer

解法一（向量法）
（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；
（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；
（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解法二（几何法）
（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．
解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．（2分）
不妨令P（0，0，t）∵，
∴，
即PF⊥FD．（4分）
（Ⅱ）设平面PFD的法向量为，
由，得，令z=1，解得：．
∴．   （6分）
设G点坐标为（0，0，m），，则，
要使EG∥平面PFD，只需，即，
得，从而满足的点G即为所求．（8分）
（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，
∴是平面PAD的法向量，易得，（9分）
又∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，
得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为（10分）
∴，
故所求二面角A-PD-F的余弦值为．（12分）
解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则，，
又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，
∴DF⊥AF（2分）
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴（4分）
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有（5分）
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且，
∴平面GEH∥平面PFD（7分）
∴EG∥平面PFD．
从而满足的点G即为所求．  （8分）
（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1（9分）
取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角（10分）
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴，
∵，且∠FMN=90°
∴，，
∴（12分）