Question

如图，椭圆E：的右焦点F₂与抛物线y²=8x的焦点重合，过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．

Answer

（Ⅰ）由条件可知椭圆的焦点坐标为（2，0），|CD|=8，，利用可得：2a2=3b4，结合a2=b2+4，即可求得椭圆M的方程；
（2）方法1：设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，利用向量的运算，表示出，从而求的最大值转化为求的最大值，用坐标表示出，即可求得的最大值；
方法2：设点E（x1，y1），F（x2，y2），P（x，y），用坐标表示出，利用配方法，即可求得结论；
方法3：分类讨论：直线EF的斜率存在与不垂直，EF的方程与圆的方程联立，用坐标表示出，利用配方法，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）由条件可知椭圆的焦点坐标为（2，0），|CD|=8，，
由可得：2a2=3b4，又a2=b2+4，则3b4-2b2-8=0，解得：b2=2，a2=4，
所以椭圆M的方程为．…（4分）
（2）方法1：设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，
则==．
从而求的最大值转化为求的最大值．…（6分）
因为P是椭圆M上的任意一点，设P（x，y），所以，即．…（8分）
因为点N（0，2），所以．…（10分）
因为，所以当y=-1时，取得最大值12． 
所以的最大值为11．…（12分）
方法2：设点E（x1，y1），F（x2，y2），P（x，y），因为E，F的中点坐标为（0，2），所以
所以=（x1-x）（-x1-x）+（y1-y）（4-y1-y）
==．…（6分）
因为点E在圆N上，所以，即．
因为点P在椭圆M上，所以，即．…（10分）
所以==．
因为，所以当y=-1时，．…（12分）
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，
由，解得．…（6分）
因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x，y），所以，即．
所以，…（8分）
所以．…（10分）
因为，所以当y=-1时，取得最大值11．
②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，
由，解得y=1或y=3．
不妨设，E（0，3），F（0，1）． 因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x，y），
所以，即．所以，．
所以．
因为，所以当y=-1时，取得最大值11．
综上可知，的最大值为11．…（12分）