Question

已知点A（-1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos²θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．
（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

Answer

（1）设出M的坐标，利用余弦定理及||•||cos2θ=3，可求得||+||为定值，利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，进而求得a和c，则b可求，从而求得椭圆的方程．
（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理进而求得（y1-y2）2的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得三角形面积的最大值．
【解析】
（1）由题意，
设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ
∴|AM|2+|BM2|-2|AM|•|BM|cos2θ=4
∴（|AM|+|BM|）2-2|AM|•|BM|（1+2cos2θ）=4
∴（|AM|+|BM|）2-4|AM|•|BM|cos2θ=4
∵||•||cos2θ=3
∴|AM|+|BM|=4
∴||+||=4
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由 x=my+1与，
消元可得：（3m2+4）y2+6my-9=0
显然，方程①的△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有S=×2×|y1-y2|=|y1-y2|
y1+y2=，y1y2=
∴（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=
令t=3m2+3，则t≥3，（y1-y2）2=
由于函数y=t+在[3，+∞）上是增函数，∴t+≥
故（y1-y2）2≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1