Question

已知函数f（x）=x²-2x，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}，则集合M∩N的面积是（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

Answer

因为f（x）=x2-2x，所以集合M={（x，y）|x2+y2-2x-2y≤0}，它的图形是圆心为（1，1），半径为的圆．N={（x，y）|x2-y2-2（x-y）≥0}={（x，y）|（x-y）（x+y-2）≥0}，它的图形是直线x-y=0和直线x+y-2=0之间的平面区域．集合M∩N的区域的面积是半径为的圆的面积的一半．由此能求出集合M∩N的面积．
【解析】
∵f（x）=x2-2x，
∴集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}
={（x，y）|x2+y2-2x-2y≤0}，
集合M的图形是圆心为（1，1），半径为的圆．
N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}
={（x，y）|x2-y2-2（x-y）≥0}
={（x，y）|（x-y）（x+y-2）≥0}，
集合N的图形是直线x-y=0和直线x+y-2=0之间的平面区域．
∴集合M∩N的区域是如图所示的阴影部分．
它的面积是半径为的圆的面积的一半．
∴集合M∩N的面积S==π．
故选C．