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如图(1)是一个水平放置的正三棱柱ABC-A1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图(2).
(Ⅰ) 图(1)中垂直于平面BCC1B1的平面有哪几个?(直接写出符合要求的平面即可,不必说明或证明)
(Ⅱ)求正三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(Ⅲ)证明:A1B∥平面ADC1
(I)根据直棱柱的定义,可以判断底面与侧面垂直,再结合面面垂直的判定定理,可以判断过AD的平面均与侧面BCC1B1垂直,由此即可得到答案. (II)由已知中的主视图中标识的数据,易判断棱柱的高为3,棱柱底面的高,则此计算出棱柱的底面积和高,代入即可得到棱柱的体积. (III)连接A1C,利用三角形中位线定理,易得到面内一线与面外一线平面,进而得到线面平行. 【解析】 (Ⅰ)平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D.(3分)(每对1个给1分) (Ⅱ)依题意,在正三棱柱中,AA1=3,,从而BC=2.(5分), 所以正三棱柱的体积=.(7分). (Ⅲ)连接A1C,设A1C∩AC1=E,连接DE, 因为AA1C1C是正三棱柱的侧面,所以AA1C1C是矩形,E是A1C的中点, 所以DE是△A1BC的中位线,DE∥A1B.(10分) 因为DE⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(12分).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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