Question

已知函数．
（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）若g（x）=f（3x）在上是增函数，求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．

Answer

（1）由f（x+θ）=2sin（ωx+ωθ+）（0＜θ＜）是最小正周期为π的偶函数，利用周期公式与诱导公式即可求得ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=2sin（ωx+）（0＜θ＜），
∴f（x+θ）=2sin（ωx+ωθ+）（0＜θ＜），
又f（x+θ）是最小正周期为π的偶函数，
∴ω=2，
∴2θ+=kπ+，（k∈Z），又0＜θ＜，
∴＜2θ+＜．
∴k=0，θ=．
（2）∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，
∴由2kπ-≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：
≤x≤（k∈Z），
∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，
∴≤，
∴0＜ω≤．
∴ωmax=．
当ω=时，f（x）=2sin（x+）．
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
∴≤sin（x+）≤1．
∴3≤2sin（x+）≤2．
∴当x∈[0，π]，f（x）=2sin（x+）∈[3，2]．