Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与之间插入n个1，构成如下的新数列：a₁，1，a₂，1，1，a₃，1，1，1，a₄，…，求这个数列的前2012项的和；
（3）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列（如：在a₁与a₂之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d₂，…以此类推），设第n个等差数列的和是A_n．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设an=a1qn-1，由an+1=2Sn+2，建立方程组，求出a1和q，能够推导出an．
（2）利用题设条件知：到an为止，新的数列共有1+2+3+…+n=项，令=2012，知：到a62为止，新的数列共有1953项，由此能求出该数列的前2012项的和．
（3）依题意，dn==，An=，要使An=g（n）dn，则4（n+2）×3n-1=g（n）×，由此能够推导出存在g（n）=n2+3n+2满足条件．
【解析】
（1）设an=a1qn-1，
由an+1=2Sn+2，知，
解得，
故an=2×3n-1…（6分）
（2）依题意，到an为止，新的数列共有1+2+3+…+n=项，
令=2012，
得n=≈62.9，
即到a62为止，新的数列共有1+2+3+4+…+62==1953项，
故该数列的前2012项的和为：
a1+a2+…+a62+1+2+3+…+61+（2012-1953）==362+1949．
（3）依题意，dn==，
An=
=4（n+2）×3n-1，
要使An=g（n）dn，
则4（n+2）×3n-1=g（n）×，
∴g（n）=（n+2）×（n+1）=n2+3n+2，
即存在g（n）=n2+3n+2满足条件．