Question

在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，．
（I）求证：a₂，a₃，a₄，…，a_n为等比数列；
（II）设b_n=na_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n的值．

Answer

（I）这是一道典型的含有an+1，Sn的递推公式来求通项公式的题目，利用公式，本题是先求出Sn，再由Sn求出an，要注意对n=1和n≥2进行讨论．最后证明从第二项开始是等比数列；
（II）求出bn，据其特点是由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成，利用错位相减法求出数列的前n项和．
【解析】
（I）由已知，a1=1，an+1=3Sn=Sn+1-Sn得4Sn=Sn+1，
所以，即{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，
所以Sn=1×4n-1=4n-1，
又由公式，
得到an=．
故当n≥2时，，
∴a2，a3，a4，…，an为等比数列．
（II）∵bn=nan=，
∴当n=1时，Tn=1；
∴当n≥2时，
Tn=1+6×4+9×41+…+3n×4n-2
∴4Tn=4+6×41+9×42+…+3n×4n-1，
两式相减得-3Tn=3+3•41+3•42+…+3•4n-2-3n×4n-1
∴Tn=[（3n-1）×4n-1+1]，
又当n=1时，T1=1也适合上式，
故Tn=[（3n-1）×4n-1+1]，（n∈N*）．