Question

设函数．
（I）求的值；
（II）若关于x的方程在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围．
（III）设函数g（x）是函数f（x）的反函数，求证：当．

Answer

（I）利用对数的运算性质化简f（m）+f（n）的结果等于，从而得到的值．
（II）把条件等价转化为t=（x+1）（2x2-5x+5）在x∈[0，1）上有实数解，利用导数判断t在x∈[0，1）上是减函数，得t（1）＜t≤t（0），由此解得实数t的取值范围．
（III）先求出函数g（x），设 G（x）=g（x）-，（x＞0），利用导数判断G（x） 在[0，+∞）上单调递减，得到g（x）＜，由此放缩要证得不等式成立．
【解析】
（I）∵函数，∴=+- 
=-=-=-=-=0．
（II）∵关于x的方程在x∈[0，1）上有实数解，
∴=，
∴= 在x∈[0，1）上有实数解，∴t=（x+1）（2x2-5x+5）在x∈[0，1）上有实数解．
∵t′=6x（x-1），x∈[0，1）时，t′＜0，t=（x+1）（2x2-5x+5）在x∈[0，1）上是减函数，
∴t（1）＜t≤t（0），解得 4＜t≤5．
∴实数t的取值范围为（4，5]．
（III）函数g（x）是函数f（x）的反函数，f（x）的定义域为（-1，1），求得g（x）=f-1（x）= （x∈R）．
设 G（x）=g（x）-，（x＞0），则  G′（x）=g′（x）-=≤0．
∵a＞1，∴G（x） 在[0，+∞）上单调递减，当x＞0时，G（x）＜G（0），即 g（x）＜．
∴a＞1时，＜ （）=•＜•=．

即＜，（n∈N*）成立．