Question

已知函数f（x）=log_mx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）若b_n=a_n•f（a_n），当m=时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=a_n•lga_n，如果{c_n}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．

Answer

（1）用等差数列求和公式，结合对数的运算性质可得：an=m2n，从而有bn=n•（）n-1，最后用错位相减法结合等比数列的求和公式，得到数列{bn}的前n项和Sn；
（2）由题意，不等式cn＜cn+1对一切n∈N*成立，代入an的表达式并化简可得m2＜（）min．通过讨论单调性可得当n=1时，的最小值是，从而得到m2＜，结合0＜m＜1，得到实数m的取值范围是（0，）．
【解析】
（1）由题意得f（an）=2+2（n-1）=logman，可得2n=logman，…（1分）
∴an=m2n．…（2分）
bn=an•f（an）=2n•m2n．
∵m=，∴bn=an•f（an）=2n•（）2n=n•（）n-1，…（3分）
∴Sn=1•（）+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n-1，①
Sn=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，②…（4分）
①-②，得Sn=（）+（）1+（）2+…+（）n-1-n•（）n=…（6分）
∴化简得：Sn=-（n+2）（）n-1+4  …（7分）
（2）【解析】
由（Ⅰ）知，cn=an•lgan=2n•m2nlgm，要使cn＜cn+1对一切n∈N*成立，
即nlgm＜（n+1）m2lgm对一切n∈N*成立．…（8分）
∵0＜m＜1，可得lgm＜0
∴原不等式转化为n＞（n+1）m2，对一切n∈N*成立，
只需m2＜（）min即可，…（10分）
∵h（n）=在正整数范围内是增函数，∴当n=1时，（）min=．…（12分）
∴m2＜，且0＜m＜1，，∴0＜m＜．…（13分）
综上所述，存在实数m∈（0，）满足条件．…（14分）