Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，则（ ）

A．随着角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂为定值
B．随着角度θ的增大，e₁减小，e₁e₂为定值
C．随着角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂也增大
D．随着角度θ的增大，e₁减小，e₁e₂也减小

Answer

连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．
【解析】
连接BD，AC设AD=t
则BD==
∴双曲线中a=
e1=
∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小
∵AC=BD
∴椭圆中CD=2t（1-cosθ）=2c∴c'=t（1-cosθ）
AC+AD=+t，∴a'=（+t）
e2==
∴e1e2=×=1
故选B．