Question

汶川震后在社会各界的支持和帮助下，汶川一中临时搭建了学校，学校餐厅也做到了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），为了让学生们能够安心上课对学生的用餐情况进行了调查．调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，若用A_n、B_n分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数．
（1）试以A_n表示A_n+1；
（2）若A₁=200，求{A_n}的通项公式；
（3）问第n个星期一时，选A与选B的人数相等？

Answer

（1）根据在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，可得An+1=An•（1-0.2）+0.3•Bn，结合An+Bn=1000，即可以An表示An+1；
（2）由（1）确定{An-600}可以看成是首项为-400，公比为的等比数列，即可求{An}的通项公式；
（3）确定An=500，利用通项建立方程，即可求得结论．
【解析】
（1）由题可知，∵在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，
∴An+1=An•（1-0.2）+0.3•Bn，
又An+Bn=1000，所以整理得：．…（3分）
（2）若A1=200，且，设，则x=-600，
∴，
即{An-600}可以看成是首项为-400，公比为的等比数列．
∴；…（9分）
（3）∵An=Bn，又An+Bn=1000，则An=500，
由得n=3．
即第3个星期一时，选A与选B的人数相等．…（12分）