Question

已知椭圆的左、右焦点为F₁、F₂，过点F₁斜率为正数的直线交Γ与A、B两点，且AB⊥AF₂，|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列．
（Ⅰ）求Γ的离心率；
（Ⅱ）若直线y=kx（k＜0）与Γ交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有|AF2|+|AB|+|BF2|=4a，|AF2|+|BF2|=2|AB|，|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，由此能求出椭圆Γ的离心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x2+2y2=a2．，设C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），则C、D坐标满足，由此得x1=-，x2=．由此能求出求使四边形ABCD面积S最大时k的值．
【解析】
（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有
|AF2|+|AB|+|BF2|=4a，①
|AF2|+|BF2|=2|AB|，②
|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，③…（3分）
由①、②、③，解得|AF2|=a，|AB|=a，|BF2|=a，
所以点A为短轴端点，b=c=a，
Γ的离心率e==．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x2+2y2=a2．
不妨设C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），
则C、D坐标满足，
由此得x1=-，x2=．
设C、D两点到直线AB：x-y+a=0的距离分别为d1、d2，
因C、D两点在直线AB的异侧，则
d1+d2=
=
=．…（8分）
∴S=|AB|（ d1+d2）
=•a•
=．
设t=1-k，则t＞1，
=，
当=，即k=-时，最大，进而S有最大值．…（12分）