Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为2，AC∩BD=O，则棱AA₁与底面ABCD所成的角为60°，A₁O⊥平面ABCD，F为DC₁的中点．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）证明：OF∥平面BCC₁B₁；
（3）求二面角D-AA₁-C的余弦值．

Answer

（1）先证出BD与面A1ACC1内的两条相交直线AC，AA1垂直，从而证得BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥AA1
（2）先证出OF∥BC1，再由线面平行的判定定理可证OF∥平面BCC1B1
（3）以O为坐标系的原点，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AA1D的法向量，平面A1ACC1的法向量，通过两法向量的夹角去解．
解（1）因为棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2，
所以四边形ABCD为菱形，BD⊥AC
又A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以A1O⊥BD．
又因为AC∩A1O=O，AC，A1O⊂平面A1ACC1，
所以BD⊥平面A1ACC1，
因为AA1⊂平面A1ACC1
所以BD⊥AA1
（2）连接BC1，因为四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O，
所以O是BD的中点
又因为点F为DC1的中点，
所以在△DBC1中，OF∥BC1，
因为OF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
所以OF∥平面BCC1B1
（3）以O为坐标系的原点，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．因为侧棱AA1与底面ABCD所成角为60°，A1O⊥平面ABCD．
所以∠A1AO=60°，在Rt△A1AO中，可得，
在Rt△AOB中，.
设平面AA1D的法向量为．

所以
因为=（-1，0，），．
∴，
可设，
又因为BD⊥平面A1ACC1，所以平面A1ACC1的法向量为，∴
因为二面角D-AA1-C为锐角，
故二面角D-AA1-C的余弦值是．