Question

在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂．其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C₁交于不同的两点E，F．E在DF之间，试求△ODE 与△ODF面积之比的取值范围．（O为坐标原点）

Answer

（Ⅰ）依题意知F2（1，0），设M（x1，y1）．由抛物线定义得，即．由此能够求出C1的方程．
（Ⅱ）设l的方程为x=sy+4，代入，得（3s2+4）y2+24sy+36=0，由△＞0，解得s2＞4．设E（x1，y1），F（x2，y2），再结合韦达定理能够导出△ODE与△ODF面积之比的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）依题意知F2（1，0），设M（x1，y1）．由抛物线定义得，即．
将代入抛物线方程得（2分），进而由及a2-b2=1解得a2=4，b2=3．故C1的方程为（4分）
（Ⅱ）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=sy+4代入，整理得（3s2+4）y2+24sy+36=0（6分）
由△＞0，解得s2＞4．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，（1）（8分）
令且0＜λ＜1．将y1=λy2代入（1）得
消去y2得（10分）即，即3λ2-10λ+3＜0解得．∵0＜λ＜1故△ODE与△ODF面积之比的取值范围为（12分）