Question

我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点F₁，F₂的距离和等于常数2a（2a＞|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点F₁，F₂的距离之差的绝对值等于常数2a（2a＜|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线．
（1）试求平面内到两个定点F₁，F₂的距离之商为定值a（a＞0且a≠1）的点的轨迹；
提示：取线段F₁F₂所在直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0）其中|F₁F₂|=2c．
（2）若△ABC中，满足AB=4，AC=BC，求三角形ABC的面积的最大值．

Answer

（1）建立直角坐标系，设F1，F2的坐标，动点坐标M（x，y），根据=a（a＞0且a≠1）建立方程，整理即可得到结论；
（2）建立直角坐标系，利用|AC|=|BC|建立方程，整理得到点C的轨迹方程，即可求得三角形ABC的面积的最大值．
【解析】
（1）取线段F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）其中|F1F2|=2c． 设动点坐标M（x，y）…（1分）
根据题意可得=a（a＞0且a≠1）…（2分）
∵|MF1|=，|MF2|=
即（x+c）2+y2=a2[（x-c）2+y2]…（4分）
整理得+y2=           …（5分）
所以平面内到两个定点F1，F2的距离之商为定值（a＞0且a≠1）的点的轨迹是圆．   …（6分）
（2）取线段F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．
设顶点C（x，y）（y≠0），∴|AC|=，|BC|=
∵|AC|=|BC|
∴（x+2）2+y2=2[（x-2）2+y2]
整理得（x-6）2+y2=32（y≠0）
即点C落在除去两点的圆（x-6）2+y2=32上．…（10分）
又S△ABC=|AB||yC|=2|yC|，0＜|yC|≤4…（12分）
∴（S△ABC）max=8…（14分）