Question

已知数列{a_n} 中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）写出a₂、a₃的值（只写结果）并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=+++…+，求b_n的最大值．

Answer

（1）由a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N），分别令n=1，n=2，能够得到a2，a3．再由迭代法求出，an-an-1=2n，an-1-an-2=2（n-1），…，a3-a2=2×3，a2-a1=2×2，由此利用累加法能够求出数列{an}的通项公式．
（2）由（1）借助裂项求和法能够推导出=．构造函数f（x）=2x+（x≥1），得到f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，由此能够求出bn的最大值．
【解析】
（1）∵a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N），
∴a2=6，a3=12．…（2分）
当n≥2时，an-an-1=2n，an-1-an-2=2（n-1），…，a3-a2=2×3，a2-a1=2×2，
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-1+an-2）+（an-an-1）
=2[1+2+3+…（n-1）+n]
=2×=n（n+1）．…（5分）
当n=1时，a1=1×（1+1）=2也满足上式，…（6分）
∴数列{an}的通项公式为an=n（n+1）．…（7分）
（2）
=+…+
=+…+

=
=
=．…（10分）
令f（x）=2x+（x≥1），
则，当x≥1时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）min=f（1）=3．…（13分）
即当n=1时，（bn）max=．…（14分）