Question

已知函数f（x）=-x²+4|x|+5．
（1）画出函数y=f（x）在闭区间[-5，5]上的大致图象；
（2）解关于x的不等式f（x）＜7；
（3）当时，证明：f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．

Answer

（1）f（x）=-x2+4|x|+5=，求出函数的对称轴，顶点坐标，与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，能够画出函数y=f（x）在闭区间[-5，5]上的大致图象．
（2）原不等式等价转化为下列不等式组：或者，由此能求出原不等式的解集．
（3）原不等式等价转化为下列不等式组：或者，由此能够证明f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．
【解析】
（1）f（x）=-x2+4|x|+5=，
∵[-5，5]，
∴由-x2+4x+5=0，得x1=-1（舍），x2=5；
由-x2-4x+5=0，得x1=1（舍），x2=-5．
∴图象与x轴的两个交点（-5，0），（5，0），
y=-x2-4x+5的对称轴是x=-2，最高点是（-2，9），y=-x2+4x+5的对称轴是x=2，最高点是（2，9），
与y轴的交点是（0，5），
∴其图象是如右图
（2）原不等式等价转化为下列不等式组：或者，
解得不等式的解为或或或．…（4分）
（或者由x2-4|x|+2＞0，解得或）
所以原不等式的解为：．…（6分）
（3）证法1：原不等式等价转化为下列不等式组：
（Ⅰ）
或者（Ⅱ）（2分）
（Ⅰ）不等式2中，判别式，
因为，
所以，0≤（k-4）2＜8，
即△1＜0；所以当x＜0时，f（x）＜kx+4k+7恒成立．…（5分）
（Ⅱ）在不等式4中，判别式，
因为，
所以，0≤（k-4）2＜8，
又，
所以△2＜0．
（或者）
所以当x≥0时，f（x）＜kx+4k+7恒成立．
综上讨论，得到：当时，
f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．…（8分）