Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角D-CB₁-B的平面角的正切值．

Answer

（I）根据所给的直三棱柱的条件，写出勾股定理得到两条线段垂直，根据侧棱与底面垂直，得到一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，得到线面垂直，进而得到线线垂直．
（II）以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出向量，设出平面的法向量，求出法向量，根据两个向量的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB1-B的大小．
【解析】
（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC，
又 AC⊥C1C，且BC∩C1C=C
∴AC⊥平面BCC1，又BC1⊂平面BCC1
∴AC⊥BC1           
（II）以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
∵AC=3，BC=4，AA1=4，
∴A（3，0，0），B（0，4，0）C（0，0，0），，
B1（0，4，4），
∴，
平面CBB1C1的法向量，
设平面DB1C的法向量，
则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB1-B的大小  
则由令x=4，则y=-3，z=3
∴…（10分）
，则
∵二面角D-B1C-B是锐二面角
∴二面角D-B1C-B的正切值为