Question

已知函数f（x）=（2ax-x²）e^ax，其中a为常数，且a≥0．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer

（I）由题意把a代入，先使得函数解析式具体，再利用函数在定义域下导函数随自变量x的范围不同其正负符号也不同，得到函数f（x）的单调性的判断，从而零用极值的定义得到函数的极值；
（II）由题意等价转化为函数在区间上恒成立问题，最终归结为求函数在定义域下求最值．
解法一：（Ⅰ）依题意得f（x）=（2x-x2）ex，所以f'（x）=（2-x2）ex，
令f′（x）=0，得x=±，
当时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减；
当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增；
当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
由上可知，x=-是函数f（x）的极小值点，x=是函数f（x）的极大值点．

（Ⅱ）f'（x）=[-ax2+（2a2-2）x+2a]eax，
由函数f（x）在区间上单调递减可知：f′（x）≤0对任意恒成立，
当a=0时，f′（x）=-2x，显然f'（x）≤0对任意恒成立；
当a＞0时，f′（x）≤0等价于ax2-（2a2-2）x-2a≥0，
因为，不等式ax2-（2a2-2）x-2a≥0等价于x-
令g（x）=x-
则g'（x）=1+，在上显然有g′（x）＞0恒成立，所以函数g（x）在单调递增，
所以g（x）在上的最小值为
由于f′（x）≤0对任意恒成立等价于x-对任意恒成立，
需且只需g（x）min≥，即0≥，解得-1≤a≤1，因为a＞0，所以0＜a≤1．
综合上述，若函数f（x）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．
若＞0，即a＞1时，由于函数h（x）的图象是连续不间断的，
假如h（x）≥0对任意恒成立，则有，
解得-1≤a≤1，与a＞1矛盾，所以h（x）≥0不能对任意恒成立．
综上所述：若函数f（x）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．