Question

如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，过点A₁作A₁O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上．
（1）求证：BC⊥A₁D；
（2）求直线A₁B与平面BCD所成角的正弦值．

Answer

（1）由已知中A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上我们易得BC⊥A1O，又由四边形ABCD为矩形，故BC⊥CD，则根据线面垂直的判定定理可得BC⊥面A1CD．再由线面垂直的性质即可得到BC⊥A1D；
（2）连接BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角，根据已知中矩形ABCD中，AB=5，BC=3，及（1）的结论，解三角形A1BO即可得到答案．
【解析】
（1）证明：因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O，
因为BC⊥CD，A1O∩CD=O，∴BC⊥面A1CD．
因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1D．（6分）
（2）连接BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角．
因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC=B，∴A1D⊥面A1BC．A1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A1C．
在Rt△DA1C中，A1D=3，CD=5，∴A1C=4．
根据S△A1CD=A1D•A1C=A1O•CD，得到A1O=，
在Rt△A1OB中，sin∠A1BO===．
所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为．（12分）