Question

已知f （x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），…（n∈N）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=a_n f （a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=3时，求S_n；
（3）若c_n=f（a_n）lgf （a_n），问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用f （x）=mx（m为常数，m＞0且m≠1）．代入an，求出an的表达式，利用等差数列的定义，证明数列{an}是等差数列；
（2）通过bn=an f （an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m=3时，求出Sn的表达式，利用错位相减法求出Sn；
（3）利用cn=f（an）lgf （an），要使cn≥cn+1对一切n∈N*成立，推出m，n的关系式，通过m＞1，0＜m＜1结合一切n∈N*，数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项，推出m的取值范围；
【解析】
（1）由题意f （an）=m2•mn-1，即man=mn+1．
∴an=n+1，∴an+1-an=1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由题意bn=anf （an）=（n+1）•mn+1，
当m=3时，bn=（n+1）•3n+1，∴Sn=2•32+3•33+4•34+…+（n+1）•3n+1…①，
①式两端同乘以3得，3Sn=2•33+3•34+4•35+…+（n+1）•3n+2…②
②-①并整理得，
2Sn=-2•32-33-34-35-…-3n+1+（n+1）•3n+2=-32-（32+33+34+35+…+3n+1）+（n+1）•3n+2
=-32-+（n+1）•3n+2=-9+ （1-3n）+（n+1）•3n+2=（n+）3n+2-．
∴Sn=（2n+1）3n+2-．
（3）由题意cn=f （an）•lg f （an）=mn+1•lgmn+1=（n+1）•mn+1•lgm，
要使cn≥cn+1对一切n∈N*成立，即（n+1）•mn+1•lgm≥（n+2）•mn+2•lgm，对一切n∈N*成立，
当m＞1时，lgm＞0，所以n+1≥m（n+2），即m≤对一切n∈N*成立，
因为=1-的最小值为，所以m≤，与m＞1不符合，即此种情况不存在．
②当0＜m＜1时，lgm＜0，所以n+1≤m（n+2），即m≥对一切n∈N*成立，所以≤m＜1．
综上，当≤m＜1时，数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项．