Question

已知动圆G过点F（，0），且与直线l：x=-相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E．曲线E上的两个动点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知=-9（O为坐标原点），探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由．
（3）已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x₁≠x₂且x₁+x₂=4．求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）依题意，圆心G到定点F（，0）的距离与到直线l：x=-的距离相等，由此可求曲线E的方程；
（2）当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为y=kx+b代入抛物线方程，利用韦达定理及=-9，可求直线AB方程，从而可得直线AB恒过定点；当直线AB垂直x轴时，也过定点．
（3）设线段AB的中点为M（x，y），求出线段AB的垂直平分线的方程，直线AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理，进而可得S△ABC=|AB|h=，利用换元法，构造函数，利用导数知识，即可求得结论．
【解析】
（1）依题意，圆心G到定点F（，0）的距离与到直线l：x=-的距离相等，
∴曲线E是以F（，0）为焦点，直线l：x=-为准线的抛物线．
∴曲线E的方程为y2=6x．（3分）
（2）当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为y=kx+b （k≠0）．
由消去x得ky2-6y+6b=0，△=36-24kb＞0．
∴y1y2=，x1x2===．
∴=x1x2+y1y2=+=-9，
∴b2+6kb+9k2=0，∴（b+3k）2=0，∴b=-3k，满足△＞0．
∴直线AB方程为y=kx-3k，即y=k（x-3），
∴直线AB恒过定点（3，0）．（7分）
当直线AB垂直x轴时，可推得直线AB方程为x=3，也过点（3，0）．
综上，直线AB恒过定点（3，0）．（8分）
（3）设线段AB的中点为M（x，y），则
x==2，y=，∴==
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-y=-（x-2）．
令y=0，得x=5，故C（5，0）为定点．
又直线AB的方程为y-y=（x-2），与y2=6x联立，消去x得y2-2yy+2-12=0．
由韦达定理得y1+y2=2y，y1y2=2-12．
∴|AB|=
∵点C到直线AB的距离为h=|CM|=
∴S△ABC=|AB|h=
令t=9+（t＞9），则12-=21-t
设f（t）=（9+）2（12-）=t2（21-t）=-t3+21t2，∴f′（t）=-3t（t-14）
当9＜t＜14时，f′（t）＞0；当t＞14时，f′（t）＜0．
∴f（t）在（9，14）上单调递增，在（14，+∞）上单调递减．
∴当t=14时，[f（t）]max=142×7．故△ABC面积的最大值为．（13分）