Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；
（Ⅱ）现保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x）；
（ⅰ）求h（x）的解析式；
（ⅱ）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，h（A）=，c=2，试求△ABC的面积．

Answer

（I）利用二倍角的三角函数公式降次，再用辅助角公式合并得f（x）=sin（2x+）-，再结合函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的有关公式，可得f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；
（II）（i）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的公式，不难得到h（x）的解析式为h（x）=sin（x+）-；
（ii）根据h（A）的值结合三角形内角的范围和特殊三角函数的值，求得A=，再由结合正弦定理，讨论得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最后在两种情况下分别解此三角形，再结合面积公式可求出△ABC的面积．
【解析】
（I）∵f（x）==sin2x-=sin2xcos+cos2xsin-，
∴f（x）=sin（2x+）-，f（x）的最小正周期为T==π．
令2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，所以函数图象的对称轴方程为：x=+kπ，（k∈Z）
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，解之得-+kπ≤x≤+kπ，所以函数的单调增区间为[-，+kπ]，（k∈Z）
同理可得，函数的单调减区间为[+kπ，+kπ]，（k∈Z）
（II）∵保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x）
∴h（x）=f（x）=sin（x+）-，
（i）h（x）的解析式为h（x）=sin（x+）-；
（ii）∵h（A）=sin（A+）-=，
∴sin（A+）=，结合A∈（0，π）得A=
∵=
∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=
①当A=B时，因为c=2，A=，所以△ABC是边长为2的等边三角形，
因此，△ABC的面积S=×22=．
②当A+B=时，因为c=2，A=，所以△ABC是斜边为2的直角三角形
∴a=csinA=2×=，b=ccosA=2×=1
因此，△ABC的面积S=××1=．
综上所述，得△ABC的面积是或．