Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3）+2，其中a为常数．
（1）若x=1是函数y=f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数y=f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，若g（x）=f（x）+f′（x），（其中x∈[0，2]），在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由x=1是函数f（x）的一个极值点则知f'（1）=0，代入导函数即可；
（2）要求函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，则要求导函数f'（x）在区间（-1，0）大于零即可，另外要注意对a的讨论；
（3）要求函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即求函数g（x）的极值并将之与函数端点值g（0），g（2）进行比较大小，得出在函数g（x）[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），再根据条件在x=0处取得最大值，得到g（0）≥g（2）即可
【解析】
（1）∵f（x）=ax3-3x2+2，
∴f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=0，解得a=2
（2）①当a=0时，
f（x）=-3x2在区间（-1，0）上是增函数
∴a=0符合题意；
②当a≠0时，f'（x）=3ax（x-），令f'（x）=0得：x1=0，x2=，
当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合题意）
当a＜0时，当x∈（，2）时，f'（x）＞0，∴≤-1，∴-2≤a＜0（符合题意），
综上所述，a≥-2．
（3）a＞0，g（x）=ax3+（3a-3）x2-6x+2，x∈[0，2]．
g'（x）=3ax2+2（3a-3）x-6=3[ax2+2（a-1）x-2]，
令g'（x）=0，即ax2+2（a-1）x-2=0（*），显然有△=4a2+4＞0．
设方程（*）的两个根为x1，x2，由（*）式得 x1x2=-＜0，不妨设x1＜0＜x2．
当0＜x2＜2时，g（x2）为极小值
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x2≥2时，由于g（x）在[0，2]上是单调递减函数
所以最大值为g（0），所以在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0处取得最大值
所以g（0）≥g（2）即0≥20a-22，解得a≤，又因为a＞0，所以a∈（0，]