Question

第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行．
0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008
1，3，5，…，4011，4013，4015
4，8，…，8024，8028
…
（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列．记各行的公差组成数列{d_i}（i=1，2，3…，2008）．求通项公式d_i；
（2）各行的第一个数组成数列{b_i}（1，2，3，…，2008），求数列{b_i}所有各项的和．

Answer

（1）记ai•j表示第i行第j列的项，求出 di+1=2di，可得{di}是等比数列，di=d1•2i-1=2i-1．
（2）化简bi+1=ai1+ai2=2bi+2i-1，可得 =+，得数列{ }是等差数列，bi=（i-1）2i=（i-1）2i-2，数列{bi}所有各项的和S=0+1+2×2+3×22+…+2007×22006，用错位相减法，得到S的值．
解． （1）记ai•j表示第i行第j列的项，
∵di+1=a（i+1）•（k+1）-a（i+1）•k =ai•（k+1）+ai•（k+2）-ai•k-ai•（k+1）=ai•（k+2）-ai•k=2di，
∴=2，则{di}是等比数列，di=d1•2i-1=2i-1．
（2）bi+1=ai1+ai2=ai1+ai1+di=2ai1+2i-1=2bi+2i-1，∴=+．
∴数列{ }是等差数列，=（i-1），所以 bi=（i-1）2i=（i-1）2i-2，
设数列{bi}所有各项的和S，则 S=0+1+2×2+3×22+…+2007×22006  ①，
∴2 S=0+1×2+2×22+3×23+…+2007×22007 ②，
用①-②可得-S=-1003×22008-1．
从而得到S=1003×22008 +1．