Question

已知sin（π-α）=，α∈（0，）．
（1）求sin2α-cos²的值；
（2）求函数f（x）=cosαsin2x-cos2x的单调递增区间．

Answer

通过条件求出sinα=，cosα=，
（1）利用二倍角的正弦，余弦的升角降次，直接求出sin2α-cos2的值．
（2）化简函数f（x）=cosαsin2x-cos2x为sin（2x-），借助正弦函数的单调增区间，求出函数f（x）的单调递增区间．
【解析】
∵sin（π-α）=，∴sinα=．
又∵α∈（0，），∴cosα=．
（1）sin2α-cos2
=2sinαcosα-
=2××-=．
（2）f（x）=×sin2x-cos2x
=sin（2x-）．
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+π，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+π]，k∈Z．