Question

已知点列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^）顺次为抛物线y=x²上的点，过点B_n（n，b_n）作抛物线y=x²的切线交x轴于点A_n（a_n，0），点C_n（c_n，0）在x轴上，且点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{a_n}，{c_n}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{}的前n项和为S_n，求证：≤S_n＜．

Answer

（1）利用导数，求得点Bn（n，bn）作抛物线y=x2的切线方程，令y=0，可得an=，根据点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，可得an+cn=2n，由此可求数列{an}，{cn}的通项公式；
（2）若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|=2bn，由此可知存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形；
（3）===（-），从而可求Sn=（1-），进而可知≤Sn＜．
（1）【解析】
∵y= x2，∴y′=，y′|x=n=，
∴点Bn（n，bn）作抛物线y=x2的切线方程为：y-=（x-n），
令y=0，则x=，即an=；（3分）
∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，
∴an+cn=2n，∴cn=2n-an=  （5分）
（2）【解析】
若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|=2bn
∴n=，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形   （9分）
（3）证明：∵===（-）（11分）
∴Sn=（1-+-+…+-）=（1-）＜
又1-随n的增大而增大，
∴当n=1时，Sn的最小值为：（1-）=，
∴≤Sn＜（14分）