Question

已知函数f（x）=sin（x+）+2sin²．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若f（A）=，△ABC的面积S=，a=，求sinB+sinC的值．

Answer

（Ⅰ）将函数解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间，列出关于x的方程，求出方程的解得到函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）由第一问确定的函数解析式及f（A）的值，将x=A代入f（x）解析式，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，由已知的面积S及sinA的值，利用三角形面积公式求出bc的值，由余弦定理得到a2=b2+c2-2bc•cosA，利用完全平方公式变形后，将a，bc及cosA的值代入求出b+c的值，利用正弦定理由b表示出sinB，由c表示出sinC，代入所求式子中变形，再将b+c的值代入即可求出值．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）f（x）=sin（x+）+2sin2=sinx+cosx+1-cosx
=sinx-cosx+1=sin（x-）+1，…（4分）
∵正弦函数的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），
∴2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z），
解得：2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），
则函数f（x）的单调递增区间是[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；…（6分）
（Ⅱ）由f（A）=，得到sin（A-）+1=，即sin（A-）=，
∵0＜A＜π，∴A=，…（7分）
∵面积S=bc•sinA=，
∴bc=2，…（8分）
∵a2=b2+c2-2bc•cos，
∴a2=（b+c）2-3bc，
又a=，bc=2，
∴b+c=3，…（10分）
∵===2，
∴sinB=，sinC=，
∴sinB+sinC=+==．…（12分）