Question

如图，四棱锥A-BCDE的底面BCDE是直角梯形，CE∥BD，∠ECB=90°，AC⊥平面BCDE，CE=CB=CA=2，BD=1．
（Ⅰ）求直线CA与平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段ED上是否存在一点F，使得异面直线CF与AB所成角余弦值等？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面ADE的法向量，即可求得直线CA与平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅱ）假设存在λ∈（0，1），使得，则F（0，2λ，2-λ），利用异面直线CF与AB所成角余弦值等于，建立等式，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2）．
∴，…（2分）
设平面ADE的法向量是，
∴，取y=1，得，…（4分）
∴直线CA与平面ADE所成角的正弦值是|cos|=；              …（6分）
（Ⅱ）假设存在λ∈（0，1），使得，则F（0，2λ，2-λ），
∴=（0，2λ，2-λ），
∵，∴|cos|=…（8分）
令=，解得λ=-1，或，…（10分）
∵λ∈（0，1），∴，…（11分）
∴当F是线段线段ED的中点时，异面直线CF与AB所成角余弦值等于．…（12分）