Question

已知函数f（x）=ax²-2ax+lnx有两个极值点x₁、x₂，且x₁•x₂＞．
（Ⅰ）求实数a的取值范围M；
（Ⅱ）若∃x∈[1+，2]，使不等式f（x）+ln（a+1）＞b（a²-1）-（a+1）+2ln2对∀a∈M恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）对函数求导，由题意可得f′（x）=0有两个不等式实数根x1、x2，且x1•x2＞，根据方程的根与系数关系建立关于a的不等式，从而可求a的范围
（Ⅱ）由（I）中a的范围可判断f（x）在（0，x1），（x1，x2），（x2，+∞）上的单调性及，可得f（x）在[1+，2]单调性，从而可求f（x）max=f（2），由已知整理可得不等式ln（a+1）-ba2-a+b-ln2+1＞0对任意的a（1＜a＜2）恒成立．通过研究函数g（a）=ln（a+1）-ba2-a+b-ln2+1的单调性可求
【解析】
（Ⅰ）对函数求导可得，=（x＞0），…（2分）
令f′（x）=0可得ax2-2ax+1=0
∴，即，…（4分）
解得a的取值范围M=（1，2）．                     …（6分）
（Ⅱ）由ax2-2ax+1=0，解得，
而f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增
∵1＜a＜2，
∴
∴f（x）在[1+，2]单调递增
∴在[1+，2]上，f（x）max=f（2）=-2a+ln2．    …（7分）
∴∃x∈[1+，2]，使不等式f（x）+ln（a+1）＞b（a2-1）-（a+1）+2ln2对∀a∈M恒成立，
等价于不等式-2a+ln2+ln（a+1）＞b（a2-1）-（a+1）+2ln2恒成立
即不等式ln（a+1）-ba2-a+b-ln2+1＞0对任意的a（1＜a＜2）恒成立．…（8分）
令g（a）=ln（a+1）-ba2-a+b-ln2+1，则g（1）=0．，，
①当b≥0时，＜0，g（a）在（1，2）上递减．
g（a）＜g（1）=0，不合题意．
②当b＜0时，，
∵1＜a＜2
若-（1+＞1，即-时，则g（a）在（1，2）上先递减，
∵g（1）=0，
∴1＜a＜2时，g（a）＞0不能恒成立；
若，即b时，则g（a）在（1，2）上单调递增，
∴g（a）＞g（1）=0恒成立，
∴b的取值范围为（-∞，]…（12分）