Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数x＞0，y＞0，z＞0，求证：
（Ⅰ）x³+y³≥x²y+xy²；
（Ⅱ）x³+y³+z³≥x²•+y²•+z²•．

Answer

（Ⅰ）作差，因式分解，即可证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）x3+y3≥x2y+xy2；同理z3+y3≥z2y+zy2；x3+z3≥x2z+xz2，三式相加，利用基本不等式，即可得解．
证明：（Ⅰ）x3+y3-x2y-xy2=（x-y）（x2-y2）=（x-y）2（x+y）…（2分）
∵x＞0，y＞0，（x-y）2≥0，…（4分）
∴x3+y3≥x2y+xy2；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）x3+y3≥x2y+xy2；同理z3+y3≥z2y+zy2；x3+z3≥x2z+xz2，…（6分）
∴2（x3+y3+z3）≥x2（y+z）+y2（z+x）+z2（x+y）≥2（x2•+y2•+z2•）．
∴x3+y3+z3≥x2•+y2•+z2•． …（10分）