Question

已知函数f（x）=（x+1）e^kx，（k为常数，k≠0）．
（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求导函数，令f′（x）≥0（≤0），分类讨论，即可确定函数f（x）的单调区间．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=（x+1）ekx
∴f′（x）=ekx+kekx（x+1）=ekx（kx+k+1），k≠0；--（2分）
当k=1时，f（x）=（x+1）ex，f′（x）=ex（x+2），
令f′（x）＞0，∵ex＞0，∴x＞-2，令f′（x）＜0，∵ex＞0，∴x＜-2，
∴函数f（x）在（-∞，-2）递减，在（-2，+∞）递增．---（5分）
∴函数f（x）在x=-2时取得极小值；----（7分）
（Ⅱ）由（1）知∴f′（x）=ekx（kx+k+1），
令f′（x）≥0，∵ekx＞0，∴kx+k+1≥0，----（9分）
由k≠0，∴当k＞0时，，
∴当k＞0时f（x）在递增，在递减；---（11分）
同理k＜0时，f（x）在递减，在递增．…（13分）