Question

已知数列{a_n}各项均为正数，前n项和S_n满足，（n∈N*），数列{b_n}满足：点列A_n（n，b_n）在直线2x-y+1=0
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{c_n}的前n项和，且，求T_n；
（Ⅲ）若对任意的n∈N^*不等式恒成立，求正实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由，知，，两式相减整理得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，点An（n，bn）在直线l：y=2x+1上，由此能求出数列{an}，{bn}的通项公式．
（Ⅱ）由，知Tn=3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）•2n，由错位相减法能求出Tn．
（Ⅲ）对任意的n∈N*，不等式恒成立，令f（n）=，由此能求出正实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知，
∴（1）
当n≥2时，（2）
两式相减整理得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，----（2分）
注意到an＞0，∴an-an-1-1=0，∴an=n+2，
又当n=1时，a1=S1，解得a1=3适合，∴an=n+2，----（3分）
点An（n，bn）在直线l：y=2x+1上，∴bn=2n+1．----（4分）
（Ⅱ）∵，
∴Tn=c1+c2+…+cn=3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）•2n
∴，
错位相减得．----（8分）
（Ⅲ）∵对任意的n∈N*不等式恒成立，
由a＞0，即，---（9分）
令f（n）=，--（10分）
∴f（n+1）=，
∴f（n+1）＞f（n），f（n）单调递增，----（12分）
．∴．----（14分）