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已知数列{an}各项均为正数,前n项和Sn满足manfen5.com 满分网,(n∈N*),数列{bn}满足:点列An(n,bn)在直线2x-y+1=0
(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记Tn为数列{cn}的前n项和,且manfen5.com 满分网,求Tn
(Ⅲ)若对任意的n∈N*不等式manfen5.com 满分网恒成立,求正实数a的取值范围.
(Ⅰ)由,知,,两式相减整理得:(an+an-1)(an-an-1-1)=0,点An(n,bn)在直线l:y=2x+1上,由此能求出数列{an},{bn}的通项公式. (Ⅱ)由,知Tn=3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n,由错位相减法能求出Tn. (Ⅲ)对任意的n∈N*,不等式恒成立,令f(n)=,由此能求出正实数a的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)由已知, ∴(1) 当n≥2时,(2) 两式相减整理得:(an+an-1)(an-an-1-1)=0,----(2分) 注意到an>0,∴an-an-1-1=0,∴an=n+2, 又当n=1时,a1=S1,解得a1=3适合,∴an=n+2,----(3分) 点An(n,bn)在直线l:y=2x+1上,∴bn=2n+1.----(4分) (Ⅱ)∵, ∴Tn=c1+c2+…+cn=3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n ∴, 错位相减得.----(8分) (Ⅲ)∵对任意的n∈N*不等式恒成立, 由a>0,即,---(9分) 令f(n)=,--(10分) ∴f(n+1)=, ∴f(n+1)>f(n),f(n)单调递增,----(12分) .∴.----(14分)
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考点分析:
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