Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析函数y=是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若该公司采用模型函数y=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

Answer

（1）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%，即f（x）≤．对于函数模型，由一次函数的性质研究，是否满足第一，二两个条件，利用反例研究是否满足第三个条件；
（2）对于函数模型f（x）=，即f（x）=10-当3a+20＞0，即a＞-时递增，利用f（1000）≤9，，即可确定a的范围，从而可求满足条件的最小的正整数a的值．
【解析】
（1）设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③f（x）≤恒成立．
对于函数模型f（x）=：当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（1000）=+2=+2＜9
所以f（x）≤9恒成立．
因为x10时，f（10）=，所以，f（x）≤不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求；
（2）对于函数模型f（x）=，即f（x）=10-
当3a+20＞0，即a＞-时递增，
为要使f（x）≤9对x∈[10，1000]时恒成立，即f（1000）≤9
∴3a+18≥1000，∴a
为要使f（x）≤对x∈[10，1000]时恒成立，即，∴x2-48x+15a≥0恒成立，∴a
综上，a，所以满足条件的最小的正整数a的值为328．