Question

现有三种卡片：一种写有数字1，一种写有数字10，一种写有数字100，从上述三种卡片中选择若干张，使得这些卡片上的数字这和为m．
（1）当m=100，试求相应的选法种数；
（2）对于正整数n，数字总和为100n对应的选法种数为a_n，试用数学归纳法猜想并证明a_n．

Answer

（1）分类讨论，只取数字1或10或100时；取1和10，由此可得结论；
（2）考虑当数字和为200时，选法种数，可得数字总和为100n对应的选法种数为an，数字总和为100（n+1）对应的选法种数为an+1，满足an+1=an+10n+11，从而可得数列通项，利用数学归纳法进行证明．
【解析】
（1）分类讨论，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…9个10，共9种
∴相应的选法种数为3+9=12种；
（2）当数字和为200时，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…19个10，共19种；取1和100，即100个1和1个100，共1种；取10和100，即10个10和1个100，共1种；取数字1、10、100，相当于取1和10，数字和为100的情形，共9种，故33种
故可得数字总和为100n对应的选法种数为an，数字总和为100（n+1）对应的选法种数为an+1，其中增加的种数为取1和10；取1和100；取10和100，共10n+11种，即an+1=an+10n+11
∴an+1-an=10n+11
∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=5n2+6n+1
下面用数学归纳法进行证明：
①n=1时，由（1）知，结论成立
②假设n=k时成立，即ak=5k2+6k+1，则ak+1=ak+10k+11=5k2+16k+11+1=5（k+1）2+6（k+1）+1
即n=k+1时，结论成立
由①②可得an=5n2+6n+1成立．