Question

将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第n个阴影部分图形．设前n个阴影部分图形的面积的平均值为f（n）．记数列{a_n}满足a₁=1，．
（1）求f（n）的表达式；
（2）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=a_n+s（s∈R），若不等式有解，求s的取值范围．

Answer

（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为22-12，第2个阴影部分图形的面积为42-32，…，第n个阴影部分图形的面积为（2n）2-（2n-1）2，从而可得f（n）的表达式；
（2）a1=1，a2=f（1）=3，a3=f（a2）=2×3+1=7，当n为偶数时，an=f（n-1）=2n-1，当n为大于1的奇数时，an=f（an-1）=2an-1+1=4n-5，由此可得结论；
（3）由（2）知bn=，根据，可得bn+1bn-bn+1bn+2=bn+1（bn-bn+2）＞0，再分类讨论，即可求得s的取值范围．
【解析】
（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为22-12，第2个阴影部分图形的面积为42-32，…，第n个阴影部分图形的面积为（2n）2-（2n-1）2．（2分）
故f（n）==2n+1                 （4分）
（2）a1=1，a2=f（1）=3，a3=f（a2）=2×3+1=7，
当n为偶数时，an=f（n-1）=2n-1，（3分）
当n为大于1的奇数时，an=f（an-1）=2an-1+1=4n-5，
故an=．                     （5分）
（3）由（2）知bn=．
又，∴bn+1bn-bn+1bn+2=bn+1（bn-bn+2）＞0．
（ⅰ）当n=1时，即b2（b1-b3）=（3+s）（-6）＞0，于是3+s＜0，∴s＜-3
（ⅱ）当n为偶数时，[4（n+1）-5+s][（2n-1+s）-（2n+3+s）]=（4n-1+s）（-4）＞0
于是4n-1+s＜0，∴s＜（-4n+1）max=-7．      （3分）
（ⅲ）当n为大于1的奇数时，
即[2（n+1）-1+s][（4n-5+s）-（4n+3+s）]=（2n+1+s）（-8）＞0
于是2n+1+s＜0，∴s＜（-2n-1）max=-7．        （5分）
综上所述：s＜-3．                        （7分）