Question

如图，在长方体AC′，已知底面两邻边AB和BC的长分别为3和4，对角线BD′与平面ABCD所成的角为45°，求：
（1）长方体AC′的高AA′；
（2）长方体AC′的表面积；
（3）几何体C′D′-ABCD的体积．

Answer

（1）先根据其为长方体得到对角线BD′与平面ABCD所成的角即为∠D′BD，再结合对角线BD′与平面ABCD所成的角为45°，即可求出长方体AC′的高AA′；
（2）直接根据长方体的表面积等于六个表面的面积之和即可得到结论；
（3）根据条件分析出所求体积占总体积的一半即可得到结论．
【解析】
（1）因为其为长方体，底面两邻边AB和BC的长分别为3和4，
∴BD=5
故对角线BD′与平面ABCD所成的角即为∠D′BD；
∵对角线BD′与平面ABCD所成的角为45°，
∴∠D′BD==1；
∴DD′=5；
∴高为5；
（2）因为长方体的表面有六个，
所以其表面积即为求六个表面的面积之和．
即：2（3×4+4×5+5×3）=94．
故其表面积为94（平方单位）
（3）因为几何体C′D′-ABCD占整个长方体的一半，
所以其体积V=×3×4×5=30．
即几何体C′D′-ABCD的体积为30（立方单位）