Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；
（3）求点N到平面ACM的距离．

Answer

法一：（1）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；
（ 2）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；
（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．
法二：建立空间直角坐标系，
（ 2）求出平面ACM的一个法向量，结合然后求出 即可．
（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，再利用向量的射影公式直接求点P到平面ACM距离h即可得到结论．
【解析】

方法一：（1）图1依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．
又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD的中点可得，
则
设D到平面ACM的距离为h，由VD-ACM=VM-ACD即，
可求得，
设所求角为θ，则，．
（3）可求得PC=6．因为AN⊥NC，由（7），得PN=（8）．所以NC：PC=5：9（9）．
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为．
方法二：
（1）同方法一；
（2）如图2所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；
设平面ACM的一个法向量，由可得：，令z=1，则．
设所求角为α，则，
所以所求角的大小为．
（3）由条件可得，AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA2=PN•PC，所以，则，，
所以所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h
则，
所以所求距离为．