Question

已知点P₁（x，y）为双曲线（b为正常数）上任一点，F₂为双曲线的右焦点，过P₁作右准线的垂线，垂足为A，连接F₂A并延长交y轴于P₂．
（1）求线段P₁P₂的中点P的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．

Answer

（1）由已知得，则直线F2A的方程为：，令x=0得P2（0，9y），设P（x，y），则，由此能求出P的轨迹E的方程．
（2）在中，令y=0得x2=2b2，设，直线QB的方程为：，直线QD的方程为：，则M（0，），N（0，），由此能导出以MN为直径的圆过两定点（-5b，0），（5b，0）．
【解析】
（1）由已知得，则直线F2A的方程为：，
令x=0得y=9y，即P2（0，9y），
设P（x，y），则，即代入得：，
即P的轨迹E的方程为．
（2）在中令y=0得x2=2b2，则不妨设，
于是直线QB的方程为：，∴直线QD的方程为：，
则M（0，），N（0，），
则以MN为直径的圆的方程为：，
令y=0得：，而Q（x1，y1）在上，则，
于是x=±5b，即以MN为直径的圆过两定点（-5b，0），（5b，0）．